U socdaal adduun aan dhab ahayn ee xisaabta

Maqaalkan waxa aan qoray maalin arbaco ah ka dib cashar iyo tababar aan ka qaatay kulliyadda sayniska kombiyuutarka. Waxaan naftayda ka difaacaa dhaleecaynta ardayda dugsigan, aqoontooda, habdhaqankooda ku wajahan sayniska iyo tan ugu muhiimsan: xirfadaha barashada. Tani... cidi ma barato.

Waa maxay sababta aan u difaacayo? Sabab fudud awgeed - Waxaan ku jiraa da', malaha, dunida igu wareegsan weli lama fahmin. Ma laga yaabaa in aan baro sida loo xidho oo aan fardaha loo xidho, intii aan gaadhi kaxayn lahaa? Ma laga yaabaa inaan baro inay wax ku qoraan qalin? Inkasta oo aan ra'yi fiican ka haysto qofka, waxaan aaminsanahay in aan "raaco", laakiin ...

Ilaa dhawaan, dugsiga sare waxay ka hadlayeen tirooyin adag. Arbacadan ayay ahayd markii aan guriga imid, oo iska casilay - ku dhawaad ​​midna ardaydu ma baran waxa ay yihiin iyo sida loo isticmaalo tirooyinkan. Dadka qaar waxay xisaabta oo dhan u eegaan sida goose albaabka rinji jooga. Laakiin sidoo kale aad ayaan ula yaabay markii ay ii sheegeen sida wax loo barto. Si fudud loo dhigo, saacad kasta oo muxaadaro ah waa laba saacadood oo wax lagu baranayo guriga: akhrinta buug-gacmeedka, tababbarka bilowga ah ee xallinta dhibaatooyinka mawduuca la bixiyay, iwm. Diyaarinta habkan, waxaan u nimid jimicsiyada, halkaas oo aan hagaajineyno wax kasta ... Si farxad leh, ardaydu waxay u maleynayeen in fadhiga casharka - inta badan ay fiirinayaan daaqada - mar hore ayaa dammaanad qaadaya in aqoontu ay geli doonto madaxa.

Jooji! Waa ku filan tahay. Jawaabteyda waxaan ku tilmaami doonaa su'aal aan ka helay fasal aan la socday saaxiibo ka socda Sanduuqa Carruurta Qaranka, oo ah hay'ad taageerta carruurta tayada leh ee dalka oo dhan. Su'aasha (ama halkii la soo jeediyay) waxay ahayd:

- Wax ma nooga sheegi kartaa tirooyin aan run ahayn?

"Dabcan," ayaan ugu jawaabay. 

Xaqiiqda tirooyinka

"Saaxiib waa aniga oo kale, saaxiibtinimadu waa saamiga lambarada 220 iyo 284," ayuu yiri Pythagoras. Ujeeddadu waxay tahay in wadarta qaybiyeyaasha tirada 220 ay la mid tahay 284, wadarta qaybiyeyaasha tirada 284 waxay la mid tahay 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Ogow sida uu Yacquub Kitaabka Quduuska ah Ceesaw u siiyey 220 ido iyo wan ah calaamad saaxiibtinimada (Bilowgii 32:14).

Dhacdo kale oo xiiso leh oo u dhaxaysa tirooyinka 220 iyo 284 waa tan: toddoba iyo tobanka lambar ee ugu sarreeya waa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , iyo 59.

Wadartoodu waa 2x220, wadarta afar geesoodkuna waa 59x284.

Marka hore. Ma jiro fikrad ah "lambarka dhabta ah". Waxay la mid tahay markaad akhrido maqaal ku saabsan maroodiga oo aad weydiiso, "Hadda waxaan weydiin doonnaa kuwa aan maroodi ahayn." Waxaa jira gebi ahaanba oo aan dhammaystirnayn, caqli-gal iyo caqli-gal ah, laakiin ma jiraan kuwo aan dhab ahayn. Gaar ahaan: tirooyinka aan dhabta ahayn laguma yeedho kuwo aan sax ahayn. Waxaa jira noocyo badan oo "lambaro" ah oo xisaabta ah, wayna ka duwan yihiin midba midka kale sida - in la qaato isbarbardhigga xayawaanka - maroodiga iyo gooryaanka dhulka.

Marka labaad, waxaanu samayn doonaa hawlgalo laga yaabo inaad hore u ogaatay inay mamnuuc yihiin: qaadashada xididada labajibbaaran ee tirooyinka taban. Hagaag, xisaabtu waxay ka gudbi doontaa caqabadahaas. Tani macno ma samaynaysaa? Xagga xisaabta, sida sayniska kale: haddii aragtidu weligeed geli doonto kaydka aqoonta waxay ku xiran tahay… Haddii aysan waxba tarayn, markaas waxay ku dhammaanaysaa qashinka, ka dibna qashinka qaar ee taariikhda aqoonta. La'aanteed tirooyinka aan ka hadlayo dhammaadka maqaalkan, suurtagal maaha in la horumariyo xisaabta. Laakiin aan ku bilowno waxyaabo yaryar. Waad garanaysaa waxa ay yihiin tirooyinka dhabta ah. Waxay u buuxiyaan khadka lambarka si adag oo aan lahayn nusqaan. Waxa kale oo aad garanaysaa waxa ay yihiin tirooyinka dabiiciga ah: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, ...... - dhamaantood kuma haboona xusuusta xitaa ugu weyn. Waxay sidoo kale leeyihiin magac qurux badan: dabiici ah. Waxay leeyihiin hanti aad u xiiso badan. Sidee u jeceshahay tan:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Carl Lindenholm, iyo Leopold Kronecker (1823-1891) waxay si kooban u dhigeen: "Ilaah wuxuu abuuray tirooyinka dabiiciga ah - wax kasta oo kale waa shaqada aadanaha!" Jajabyada (loo yaqaan nambarada macquulka ah ee xisaabyahannada) ayaa sidoo kale leh sifooyin cajiib ah:

iyo sinnaan:

Waad ka bilaabi kartaa dhinaca bidix, xoqin kartaa dhejiska oo ku beddel calaamadaha isku dhufashada - sinnaantuna waxay ahaan doontaa run:

Iyo wixii la mid ah.

Sida loo yaqaan, jajabyada a/b, halka a iyo b ay yihiin tirooyin iyo b ≠ 0, waxay yiraahdaan tiro macquul ah. Laakiin waxay isku magacaabaan oo keliya Polish. Waxay ku hadlaan Ingiriis, Faransiis, Jarmal iyo Ruush. tiro macquul ah. Ingiriisi: tirooyinka macquulka ah. Tiro aan macquul ahayn Waa caqli-xumo, caqli-gal. Waxaan sidoo kale uga hadalnaa Polish aragtiyo, fikrado iyo ficillo aan caqli gal ahayn - tani waa waalli, male-awaal, aan la macnayn karin. Waxay yiraahdeen dumarku waxay ka cabsadaan jiirarka - intee in le'eg ayay caqli-gal tahay?

Waqtiyadii hore, tirooyinka waxay lahaayeen naf. Mid kastaa wuxuu u jeedaa wax, mid kastaa wuxuu calaamad u yahay shay, mid kastaa wuxuu ka tarjumayaa qayb ka mid ah wada noolaanshaha Caalamka, taas oo ah, Giriigga, Cosmos. Erayga "cosmos" laftiisa macnihiisu waa "habayn, nidaam." Kuwa ugu muhiimsan waxay ahaayeen lix (lambarka saxda ah) iyo toban, wadarta tirooyinka isku xiga 1+2+3+4, oo ka kooban tirooyin kale, kuwaas oo astaantoodu ay jirto ilaa maantadan la joogo. Sidaa darteed Pythagoras wuxuu baray in tirooyinka ay yihiin bilowga iyo isha wax walba, iyo kaliya daahfurka tirooyin aan caqli-gal ahayn Dhaqdhaqaaqa Pythagorean u rogay joomatari. Waan ognahay sababta dugsiga taas

√2 - tiro aan caqli gal ahayn

Ka soo qaad inuu jiro: iyo in jajabkan aan la yarayn karin. Gaar ahaan, p iyo q labaduba waa khayaali. Aan isku koobno: 2q²=p². Nambarka p ma noqon karo khayaali, tan iyo markaas p² sidoo kale waxay noqon doontaa, oo dhinaca bidix ee sinnaanta waxaa jira tiro badan oo ah 2. Sidaa darteed, p waa xitaa, i.e., p = 2r, markaa p²= 4r². Waxaan yareynaa isla'egta 2q²= 4r² by 2. Waxaan helnaa q²= 2r² oo waxaan aragnaa in q sidoo kale waa inuu ahaado mid siman, waxaanan u qaadannay inaysan ahayn. Iska hor imaadka ka dhashay ayaa dhameystiraya caddaynta - qaacidadan inta badan waxa laga heli karaa buug kasta oo xisaabeed. Caddeyntan aan tooska ahayn waa farsamada ay jecel yihiin sophists.

Weynaantan ma aysan fahmi karin Pythagoreans. Wax walba waa in ay awoodaan in lagu qeexo tirooyin, iyo geesaha afar gees ah, oo qof kasta uu ku sawiri karo ul ciidda, ma laha, taas oo ah, la qiyaasi karo, dherer. "Rumaysadkeennu wuxuu ahaa micnela'aan," Pythagoreans waxay u muuqdaan inay yiraahdaan. Sidee sidaas tahay? Waa nooc... caqli-gal ah. Ururku wuxuu isku dayay inuu naftiisa ku badbaadiyo habab kooxeed. Qof kasta oo ku dhiirada inuu muujiyo jiritaankiisa tirooyin aan caqli-gal ahayn, waxay ahayd in lagu xukumo dil, iyo, sida muuqata, xukunkii ugu horreeyay waxaa fuliyay sayidkii laftiisa.

Laakiin "fikirku wuu gudbay isagoo aan dhaawacmin." Casrigii dahabiga ahaa ayaa yimid. Giriigii waxay ka adkaadeen Faaris (Marathon 490, Plache 479). Dimuqraadiyadii way xoojisay, xarumaha cusub ee fikirka falsafada iyo dugsiyo cusub ayaa soo baxay. Kuwa raacsan Pythagoreanism waxay wali la halgamayeen tirooyin aan macquul ahayn. Qaar baa wacdiyey: Ma garan doonno qarsoodigan; Waxaan kaliya ka fiirsan karnaa oo aan u bogi karnaa Uncharted. Kuwa dambe waxay ahaayeen kuwo aad u macquul ah oo aan ixtiraamin sirta. Waqtigaas, laba dhisme maskaxeed ayaa soo muuqday kuwaas oo suurtageliyay in la fahmo tirooyin aan caqli-gal ahayn. Xaqiiqda ah in aan maanta si fiican u fahamno iyaga waxaa iska leh Eudoxus (qarnigii XNUMXaad ee BC), kaliya dhamaadkii qarnigii XNUMX-aad ayuu xisaabyahan Jarmal ah Richard Dedekind siiyay aragtida Eudoxus ee horumarka saxda ah iyada oo la raacayo shuruudaha macquulka xisaabaadka adag.

Tiro badan ama jirdil

Ma noolaan kartaa tiro la'aan? Xitaa haddii, nolosha noocee ah ayaa noqon lahayd ... Waa inaan aadnaa dukaanka si aan uga iibsano kabo ul ah, taas oo aan hore ugu cabbirnay dhererka cagta. "Waxaan jeclaan lahaa tufaax, oh, waa kan!" - Waxaan ku tusi lahayn wax iibiyeyaasha suuqa. "Intee ayay ka fog tahay Modlin ilaa Nowy Dwór Mazowiecki"? "Ku dhow dhow!"

Tirooyinka ayaa loo isticmaalaa in lagu cabbiro. Waxaan sidoo kale u isticmaalnaa si aan u muujinno fikrado kale oo badan. Tusaale ahaan, miisaanka khariidadda ayaa muujinaya inta aagga dalka uu hoos u dhacay. Miisaanka laba-ilaa-hal, ama si fudud 2, wuxuu muujinayaa xaqiiqda ah in wax la labanlaabay. Aynu xisaab ahaan nidhaahno: mid kastaaba wuxuu u dhigmaa tiro - miisaankiisa.

Hawsha. Waxa aanu samaynay koobi xerographic ah, anagoo waynaynay sawirka dhawr jeer. Dabadeed jajabkii weynaa ayaa mar kale kordhay b jeer. Waa maxay miisaanka weynaynta guud? Jawaab: a × b lagu dhufto b. Miisaankani waxay u baahan yihiin in la badiyo. Tirada laga jaray hal, -1, waxay u dhigantaa hal saxan oo udub dhexaad u ah, taas oo ah, wareeg ah 180 darajo. Waa maxay tirada u dhiganta wareegtada 90 darajo? Ma jiro tiro caynkaas ah. Waa, waa ... ama halkii, waxay ahaan doontaa dhawaan. Diyaar ma u tahay jirdil maskaxeed? Geesi yeelo oo qaado xididka labajibbaaran ee laga jaray mid. waan dhagaysanayaa? Maxaad samayn kartaa? Midda kale, waxaan ku idhi geesi noqo. Soo saar! Hey, si fiican, jiid, jiid... Waan ku caawin doonaa... Halkan: -1 Hadda oo aan haysano, aan isku dayno inaan isticmaalno... Dabcan, hadda waxaan qaadan karnaa xididdada dhammaan tirooyinka taban, waayo, tusaale.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- "iyadoon loo eegin murugada maskaxeed ee ay tani keeneyso." Tani waa waxa Girolamo Cardano uu qoray 1539, isagoo isku dayaya inuu ka gudbo dhibaatooyinka maskaxeed ee la xidhiidha - sida ugu dhakhsaha badan ayaa loogu yeeraa - qiyaasaha mala awaalka ah. Wuxuu u maleeyay sidan...

...Hawsha. U qaybi 10 laba qaybood, oo wax soo saarkoodu la mid yahay 40. Waxaan ka xusuustaa qaybtii hore wuxuu qoray wax sidan oo kale ah: Sida cad wax aan macquul ahayn. Si kastaba ha ahaatee, aan samayno: 10 u kala qaybi laba qaybood oo siman, mid kastaa waa 5. Ku dhufo iyaga - waxaan helnaa 25. Laga soo bilaabo 25 ka soo baxa, hadda ka jar 40, haddii aad rabto, waxaanan heleynaa -15. Hadda fiiri: √-15 oo lagu daray lagana jaray 5 ayaa ku siinaysa 40. Tiradaasi waa 5-√-15 iyo 5+√-15. Natiijada waxaa xaqiijiyay Cardano sida soo socota:

"Si kasta oo ay tahay murugada maskaxeed tan ayaa keeneysa, ku dhufo 5 + √-15 5-√-15. Waxaan helnaa 25 - (-15), taas oo u dhiganta 25 + 15. Markaa, alaabtu waa 40…. Runtii way adag tahay.”

Hagaag, waa immisa: (1 + √-1) (1-√-1)? Aan taranno. Xusuusnow in √-1 × √-1 = -1. Wayn Hadda dhibaato aad u adag: laga bilaabo a + b√-1 ilaa ab√-1. Maxaa dhacay? Dabcan, sida tan: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Maxaa xiiso leh oo arrintan ku saabsan? Tusaale ahaan, xaqiiqda ah in aan samayn karno tibaaxaha "aanan horay u aqoon." Habka isku dhufashada ee la soo gaabiyey²-b² waxaa laga yaabaa inaad xasuusato qaacidada²+b² ma dhicin sababtoo ah ma dhici karto. Qaybta tirooyinka dhabta ah, polynomial-ka²+b² tani waa lama huraan. Aan ku muujinno xidid laba jibaaran ee “our” xarafka i.²= -1. Kani waa lambar "aan dhab ahayn". Tanina waa waxa qeexaya diyaarad 90 darajo rogatay. Waa maxay sababtu? Ka dib oo dhan,²= -1, iyo isku darka wareega 90-degree iyo wareeg kale oo la mid ah waxay soo saartaa wareeg 180-degree ah. Wareeg noocee ah ayaa lagu tilmaamay? Way caddahay - leexashada 45 darajo. Waa maxay macnaha nambarku -i macnaheedu? Way ka sii dhib badan tahay:

(-I)² = -i × (-i) = + i² = -1

Marka -i sidoo kale wuxuu qeexayaa wareegtada 90, oo kaliya jihada ka soo horjeeda wareegga i. Kee baa hadhay, kee baa saxan? Waa inaad ballan samaysataa. Waxaan u qaadaneynaa in nambarka aan qeexayo wareegga jihada ay xisaabyahannadu u arkaan togan: saacadda ka soo horjeeda. Lambarka -i wuxuu qeexayaa wareegga jihada tilmaamuhu u dhaqaaqayaan.

Laakiin ma jiraan tirooyinka sida i iyo -i? waa! Waxaan si fudud u keenay nolosha. waan dhagaysanayaa? In ay madaxdeenna oo keliya ka jiraan? Hagaag maxaa la filayaa? Dhammaan tirooyinka kale waxay sidoo kale ku jiraan oo keliya maskaxdayada. Waxaan u baahanahay inaan aragno in tirooyinkayaga dhalan doona ay noolaan doonaan. Si sax ah, nashqaduhu ma yahay mid macquul ah oo miyay faa'iido u yeelan doonaan shay? Fadlan u qaado eraygayga in wax walba ay fiican yihiin iyo in lambaradan cusub ay runtii waxtar leeyihiin. Tirooyinka sida 3+i, 5-7i, oo qaab guud ah: a+bi waxa loo yaqaan nambaro adag. Waxaan ku tusay sida aad ku heli karto adigoo diyaarada wareegaya. Waxaa loo geli karaa siyaabo kala duwan: sida dhibcaha diyaaradda, sida noocyo badan oo kala duwan, sida noocyo tirooyin gaar ah... iyo mar kasta oo ay isku mid yihiin: isla'egta x² +1=0 ma jiro curiye... hocus pocus ayaa horay u jiray!!!! Aynu rayrayno oo rayrayno!!!

Dhamaadka socdaalka

Tani waxay soo gabagabaynaysaa socdaalkeenii ugu horeeyay ee dhulka lambarada beenta ah. Tirooyinka kale ee aan la arki karin, waxaan sidoo kale xusi doonaa kuwa leh tiro aan dhammaad lahayn oo hore oo aan dhammaad lahayn (waxaa loo yaqaan 10-adic, annaga p-adic ayaa ka muhiimsan, halkaasoo p-gu yahay lambarka koowaad), tusaale ahaan X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Aan tirino X fadlan². Sababtoo ah? Ka warran haddaynu xisaabinno labajibbaaran lambar oo leh tiro aan la koobi karin oo gadaasheeda ah? Hagaag, aynu sidaas oo kale samayno. Aynu ogaano in X² = H.

Aynu helno tiro kale oo noocaas ah oo leh tiro lambarro ah oo aan dhammaad lahayn oo xagga hore ah oo qancisa isla'egta. Tilmaan: Laba jibaaranaha nambarku wuxuu ku dhamaanayaa lix. Laba-jibaaranaha nambarku wuxuu dhammaanayaa 76, sidoo kale wuxuu ku dhammaadaa 76. Laba jibaaranaha nambarku wuxuu dhammaanayaa 376. Waxa kale oo jira tirooyin aad u yar, inkasta oo ay togan yihiin, haddana way ka yar yihiin tirooyinka kale ee togan. Aad bay u yaryar yihiin oo mararka qaarkood waa ku filan tahay in la laba jibaaro si ay eber u helaan. Waxaa jira tirooyin aan qancin shuruudaha a × b = b × a. Waxaa kaloo jira tirooyin aan dhammaad lahayn. Immisa tirooyinka dabiiciga ah ayaa jira? Badan oo aan dhammaad lahayn? Haa, laakiin waa intee? Nambarkee ayaa tan lagu sheegi karaa? Jawaab: tirooyinka aan dhammaadka lahayn ee ugu yar; waxa lagu calaamadeeyay xaraf qurux badan: A oo lagu kabay index eber A₀ , aleph-eber.

Waxa kale oo jira tirooyin aynaan garanayn inay jiraan...ama aan rumaysan karno ama ma rumaysan karno sidaad rabto. Oo ka hadlaya taas: Waxaan rajeynayaa inaad weli jeceshahay tirooyinka aan dhabta ahayn, lambarrada noocyada khiyaaliga ah.